ランダムウォーク理論：確率過程の秘密と応用に迫る
ランダムウォーク理論とは、株価や物理現象などの不規則な変動を数学的にモデル化した理論です。ランダムウォークとは、ある時点での状態が次の時点での状態に確率的に影響するような過程のことで、コイン投げや酔っ払いの歩き方などが例として挙げられます。
ランダムウォーク理論は、株価の予測の不可能性や市場の効率性などを説明する経済学や金融学の分野で重要な役割を果たしていますが、それだけではなく、物理学や生物学、社会科学など様々な分野で応用されています。
本記事では、ランダムウォーク理論の基本的な考え方や歴史、そしてその応用例について紹介します。
ランダムウォーク理論の基本的な考え方
ランダムウォーク理論の基本的な考え方は、以下のように表せます。
- ランダムウォークとは、ある時点での状態が次の時点での状態に確率的に影響するような過程のことである。
- ランダムウォークの状態は、離散的な値（例：コインの表裏）や連続的な値（例：株価）をとることができる。
- ランダムウォークの状態の変化は、確率分布（例：正規分布）に従って発生すると仮定することができる。
- ランダムウォークの状態の変化は、独立で同一の確率分布に従うと仮定することができる。これを独立同一分布（i.i.d.）と呼ぶ。
- ランダムウォークの状態の変化は、過去の状態や変化に依存しないと仮定することができる。これをマルコフ性と呼ぶ。
- ランダムウォークの状態の変化は、時間の経過によって平均や分散が変わらないと仮定することができる。これを定常性と呼ぶ。
これらの仮定のもとで、ランダムウォークの状態の変化は、確率変数として扱うことができます。例えば、コイン投げの場合、コインの表裏をそれぞれ+1,-1と表すと、コインをn回投げたときの合計値は、n個の独立同一分布の確率変数の和として表せます。
この確率変数の和は、中心極限定理によって、正規分布に近似できます。つまり、コインを多く投げれば投げるほど、合計値は平均0、分散nの正規分布に従うことになります。このように、ランダムウォークの状態の変化は、確率分布によって統計的に記述できるのです。
ランダムウォーク理論の歴史
ランダムウォーク理論の歴史は、19世紀のフランスにさかのぼります。当時、物理学者のルイ・バシェレが、株価の変動をブラウン運動（粒子の不規則な運動）になぞらえて、ランダムウォークとしてモデル化しました。
彼は、株価の変動は、過去の値動きや情報に依存せず、予測不可能であると考えました。彼は、株価の変動は、正規分布に従うと仮定し、株価の期待値や分散を計算しました。
彼の研究は、株式市場の効率性や株価のランダム性を初めて数学的に示したものであり、金融工学の先駆けとなりました。
20世紀に入ると、ランダムウォーク理論は、経済学や金融学の分野でさらに発展しました。特に、1950年代から1960年代にかけて、ポール・サミュエルソンやユージン・ファマなどの経済学者が、ランダムウォーク理論を用いて、株価の予測の不可能性や市場の効率性を検証しました。
彼らは、株価は、市場に存在するすべての情報を反映しており、新たな情報がランダムに発生すると、株価は即座に調整されると考えました。彼らは、市場の効率性を弱い形、半強い形、強い形の3つのレベルに分けて定義しました。
弱い形の市場効率性とは、過去の株価や取引量などの情報が、将来の株価に関係ないことを意味します。半強い形の市場効率性とは、過去の情報に加えて、現在公開されているすべての情報が、株価に反映されていることを意味します。
強い形の市場効率性とは、過去の情報や公開情報に加えて、非公開の情報も株価に反映されていることを意味します。彼らは、実証的な分析によって、株式市場は、少なくとも弱い形の市場効率性を満たしていると結論づけました。
これは、テクニカル分析やファンダメンタル分析などの株価の予測手法に対する挑戦となりました。
ランダムウォーク理論は、物理学や生物学、社会科学など様々な分野で応用されました。
例えば、物理学では、ブラウン運動や拡散現象、熱伝導などのランダムウォークを用いて、物質の微視的な振る舞いを記述しました。生物学では、遺伝子の突然変異や動物の探索行動、細胞の運動などのランダムウォークを用いて、生命の進化や機能を解明しました。
社会科学では、意思決定や投票行動、社会的なネットワークや感染症の拡散などのランダムウォークを用いて、人間の行動や社会の現象を分析しました。これらの分野では、ランダムウォークの状態の変化が、独立同一分布やマルコフ性や定常性といった仮定を満たさない場合も多く、より複雑なモデルが必要となりました。
例えば、レヴィ飛行と呼ばれる、確率分布が正規分布ではなく、パレート分布やコーシー分布などの重い裾の分布に従うランダムウォークや、自己相関や長期記憶といった性質を持つランダムウォークなどが研究されました。
これらのランダムウォークは、株価の変動や地震の発生などの極値現象や、フラクタルやカオスといった非線形現象を説明するのに有用でした。
ランダムウォーク理論の応用例
ランダムウォーク理論は、様々な分野で応用されています。ここでは、その中からいくつかの例を紹介します。
株価の予測
株価の予測は、ランダムウォーク理論の最も有名な応用例の一つです。株価の変動は、市場に存在するすべての情報を反映しており、新たな情報がランダムに発生すると、株価は即座に調整されるという仮定のもとで、株価はランダムウォークに従うと考えられます。
この場合、株価の将来の値は、過去の値動きや情報に依存せず、予測不可能であるということになります。つまり、株価の予測は、ランダムウォークの予測と同じくらい困難であるということです。
しかし、実際の株式市場は、完全に効率的ではなく、株価にはある程度のパターンやトレンドが存在すると考える人もいます。この場合、株価の予測は、ランダムウォークの予測よりもやや容易になるかもしれません。
しかし、株価の予測には、多くの要因や不確実性が関わるため、ランダムウォーク理論は、株価の予測の限界や難しさを示す有力な理論として残ります。
遺伝子の突然変異
遺伝子の突然変異は、生命の進化において重要な役割を果たします。遺伝子の突然変異は、DNAの複製や修復の過程で起こるランダムな誤りや、外部からの放射線や化学物質などの影響によって起こるランダムな変化です。
遺伝子の突然変異は、個体の形質や機能に影響を与えることがあります。遺伝子の突然変異は、自然選択や遺伝的浮動といった過程によって、集団の遺伝的多様性や適応度に影響を与えます。
遺伝子の突然変異は、ランダムウォークとしてモデル化することができます。例えば、遺伝子の突然変異率をpとすると、遺伝子の塩基配列の長さをnとすると、遺伝子の突然変異の回数は、二項分布に従うランダムウォークとして表せます。
このランダムウォークの期待値は、npであり、分散は、np(1-p)であります。このように、ランダムウォーク理論は、遺伝子の突然変異の発生や分布を統計的に記述するのに有用です。
酔っ払いの歩き方
酔っ払いの歩き方は、ランダムウォークの最も簡単な例の一つです。酔っ払いの歩き方とは、ある地点から出発した人が、各時点でランダムに方向を決めて歩くことを指します。
酔っ払いの歩き方は、一次元や二次元や三次元などの空間で考えることができます。酔っ払いの歩き方は、ランダムウォークとしてモデル化することができます。
例えば、一次元の酔っ払いの歩き方では、各時点で左に一歩進む確率をp、右に一歩進む確率を1-pとすると、n回歩いたときの位置は、二項分布に従うランダムウォークとして表せます。
このランダムウォークの期待値は、n(2p-1)であり、分散は、4np(1-p)であります。このように、ランダムウォーク理論は、酔っ払いの歩き方の平均的な振る舞いやばらつきを計算するのに有用です。
感染症の拡散
感染症の拡散は、人間の健康や社会に大きな影響を与える現象です。感染症の拡散は、感染者と非感染者の間の接触や移動によって起こるランダムな過程です。
感染症の拡散は、ランダムウォークとしてモデル化することができます。
例えば、SIRモデルと呼ばれる、感受性者（Susceptible）、感染者（Infectious）、回復者（Recovered）の3つの状態に分けて、感染症の拡散を記述することができます。
SIRモデルでは、感受性者は、感染者と接触する確率に比例して感染者になり、感染者は、回復率に比例して回復者になります。このモデルは、微分方程式や確率過程として表せます。
このように、ランダムウォーク理論は、感染症の拡散のメカニズムやパラメータを推定するのに有用です。
まとめ
ランダムウォーク理論は、株価や物理現象などの不規則な変動を数学的にモデル化した理論です。ランダムウォークとは、ある時点での状態が次の時点での状態に確率的に影響するような過程のことで、コイン投げや酔っ払いの歩き方などが例として挙げられます。
ランダムウォーク理論は、株価の予測の不可能性や市場の効率性などを説明する経済学や金融学の分野で重要な役割を果たしていますが、それだけではなく、物理学や生物学、社会科学など様々な分野で応用されています。
本記事では、ランダムウォーク理論の基本的な考え方や歴史、そしてその応用例について紹介しました。ランダムウォーク理論は、不確実性や複雑性に満ちた現実の現象を理解するための有力なツールとなっています。
【参考文献】
(1) ランダム・ウォーク理論 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E7%90%86%E8%AB%96.
(2) 図解でわかる ランダムウォーク&行動ファイナンス理論のすべて .... https://www.amazon.co.jp/%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E3%81%A7%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8B-%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%AF-%E8%A1%8C%E5%8B%95%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E3%81%99%E3%81%B9%E3%81%A6-%E7%94%B0%E6%B8%95-%E7%9B%B4%E4%B9%9F/dp/4534038941.
(3) ランダムウォーク理論とは｜ランダムウォーク理論の定義｜IG証券. https://www.ig.com/jp/glossary-trading-terms/random-walk-theory-definition.
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